Polígonos regulares

Dada una Circunferencia se pueden formar dentro de ella un polígono regular con ayuda de trazos auxiliares

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Suma de Ángulos Internos de un Polígono

Se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.

Cuando se tiene un polígono y es necesario saber la suma de sus lados s necesario conocer una fórmula poder calcularlo:

                                       (n-2)180

                                            n

Donde n-2 siempre será el número de lados del polígono menos 2 triángulos que se forman. 

Es decir, el heptágono (7 lados) y al formar los triángulos serán 7-2= 5 

Después se multiplicara el numero de lados por los 180° que deben medir. 

                            

                                 180*5= 900 

Con una tabla realizada en Excel nos podemos dar cuenta de la relación que existe entre la suma de los ángulos internos de cada polígono, los lados correspondientes y los triángulos que se forman en cada uno. 

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Poligono	Suma ángulos internos		Triángulos que se Forman	Lados
Triángulo	180°	180°	1	3
Cuadrado	360°	180°	2	4
Pentágono	540°	180°	3	5
Hexágono	720°	180°	4	6
Heptágono	900°	180°	5	7
Octágono	1080°	180°	6	8
Isodecágono	3600°	180°	18	20

Encontrar el centro

Cuando se tenga un circulo donde no este marcado el centro y necesitas encontrarlo por tales motivos, basta con hacer un triangulo dentro de ella como apoyo para poder marcar las lineas donde se interceptaran y así poder encontrarlo.

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Recta tangente a la circunferencia en un punto fuera de ella

Al colocar un punto fuera de la circunferencia este podrá pasar por dos lineas tangentes a la circunferencia, Igualmente con ayuda de trazos auxiliares.

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Recta Tangente a la circunferencia en un punto en ella

Escogido cualquier punto en una circunferencia se puede trazar una recta tangente con ayuda de trazos auxiliares.

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Líneas en una Circunferencia

En una circunferencia se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas :

Radio: Segmento que va del centro de la circunferencia a un punto en ella.

Diámetro: Segmento que toca la circunferencia en dos puntos para por el centro. 

Cuerda: Segmento que toca en dos puntos a la circunferencia sin pasar por el centro.
Secante: Recta que corta al circulo en dos puntos.
Tangente: Linea que toca a la circunferencia en un solo punto. 
Arco: Una parte de la circunferencia.

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Medianas y Baricentro

Las medianas de un triángulo son las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.
El baricentro es el punto en donde interceptan las 3 medianas del triángulo. 
También llamado y/o conocido como centro de masas, ya que el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme). 

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Desigualdad de Triángulos

Dados 3 segmentos de diferentes tamaños se puede formar un triángulo siempre y cuando cumpla que: Al sumar el tamaño de 2 de los segmentos el resultado siempre sea mayor que el 3ro.

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Cuando los segmentos al sumarse no den mayor que el tercero nunca se podrá formar el triángulo.

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Recta perpendicular que pasa con un punto fuera de ella

Para encontrar la línea perpendicular que pase por un punto que este fuera de está basta con abrir el compás y hacer centro en el punto P. Cuando estén marcados estos nuevos puntos se hace centro en ellos volviendo a abrir el compás y marcando las intersecciones de las circunferencias y esa será la linea. 

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Rectas Paralelas

Para hacer una recta paralela dada una línea con segmento AB se utilizan trazos auxiliares tales que sean los mismos que para una perpendicular. Pero la diferencia de está es que en los nuevos puntos encontrados donde se interceptaron las circunferencias se vuelven ahora el punto medio donde se realiza el mismo procedimiento y se traza la recta paralela a está.

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Rectas Perpendiculares

Dada una línea recta se marcan el segmento AB. Haciendo centro en dichos puntos con el compás y haciendo intersección y unir esos nuevos puntos en una línea perpendicular.

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Bisectríz de un Ángulo

Para formar la bisectríz de un ángulo es recomendable que sea un ángulo agudo (menor de 90°).
La bisectríz es una linea que pasa justo por la mitad del ángulo, cortando en ambas partes iguales el vértice.

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Punto Medio

La Mediatríz  de una linea, es una recta perpendicular que pasa por la mitad de está. Con ayuda del punto medio es como se puede localizar dicha recta.

Para esto se utiliza en compás para marcar los puntos de intersección y formar la recta.

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Suma de Segmentos

Una forma fácil de sumar segmentos y unirlos en una linea es mediante la utilización de compás y regla.
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Prueba de GeoGebra

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Ángulos Congruentes

Construcción de Ángulos Congruentes

http://www.geogebra.org/material/simple/id/2780243

Glosario

1)  Punto: Uno de los factores fundamentales para la geometría. Describe una posición en el espacio.

2)  Línea: Es la unión entre dos puntos distintos.

 

3)  Línea recta: Es la unión de un conjunto de puntos donde la gráfica es una línea.
                           

4)  Semirrecta: Segmento de una recta. Indica en donde comienza la linea, pero no en donde termina y en que dirección va. 
                                                                            

5)  Segmento de línea recta: Un pedazo de la línea recta. 
                    

6)  Ángulo: Es la apertura entre dos rectas.
                         

      Grado: Unidad de medida de los ángulos.
                              

      Minuto: Unidad de medida del tiempo.

      Segundo: Unidad de medida del tiempo.
                         

7)  Una clasificación de ángulos según su medida es:

    a)Ángulo recto: Ángulo que mide 90°.
                                 

    b)     Ángulo agudo: Ángulo que mide entre 0 y 90°. Menos de 90°
                                         

    c)     Ángulo obtuso: Ángulo que mide entre 90 y 180°
                  

    d)     Ángulo llano: Ángulo que mide 180°. 
                                     

    e)     Ángulo entrante o cóncavo: Mayor de 180°. 
                                         

    f)     Ángulo perigonal: Ángulo que mide 270°.
                                         

8)  Otra clasificación de los ángulos según su posición es:

    a)Opuestos por el vértice:           

    b)Adyacentes:      

    c)     Complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma es 90°.
                                    

    d)  Suplementarios: Son suplementarios si miden 180°.

9)     Triángulo: Figura geométrica de 3 lados. 
                                 

10)  Clasificación de los triángulos por sus lados: 
 Equilátero (todos sus lados iguales).
                                           
 Isósceles (dos lados iguales).
                                                    
 Escaleno (todos sus lados desigual).  

                                                           

11)  Clasificación de los triángulos por sus ángulos: 

Triángulos rectángulos (90°).

               

                           

Acutángulos (menores de 90°). 

                                    

Obtusángulos (más de 90°).

                       

     12) Rectas y puntos notables en el triángulo: 

Rectas Notables.

Altura: Recta perpendicular que parte del vértice hacia el lado opuesto. Forma ángulo recto con el lado opuesto al vértice desde donde se traza.

Las medianas de un triángulo son las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados en sus puntos medios.

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.

Puntos Notables.

El punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo se denomina ortocentro.

El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo se denomina baricentro

 El punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo se denomina circuncentro.     

El punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo se denomina incentro.

     13) Polígonos

Un polígono es la figura geométrica de un fragmento plano que está formado por segmentos consecutivos sin alineación, que reciben el nombre de lados.

Existen diversas clasificaciones de los polígonos. Se conoce como polígono simple a aquel en el que dos de sus aristas no consecutivas no se intersectan. En el polígono complejo, en cambio, dos de sus aristas que no son consecutivas sí se cortan.

                

 Otros tipos de polígonos son el cóncavo (cuando lo atraviesa una recta puede cortarlo en más de un par de puntos), convexo (al ser atravesado por una línea recta, lo interrumpe en no más de dos puntos), regular (sus lados y ángulos son iguales), irregular (sus lados y ángulos son desiguales), equiángulo (todos sus ángulos resultan iguales) y equilátero (todos sus lados cumplen con la propiedad de la igualdad).

                       

En cuanto a la forma de sus lados, los polígonos pueden ser rectilíneos (sus lados son segmentos rectos) o curvilíneos (al menos uno de sus lados es curvo). Cuando un polígono tiene más de dos dimensiones, por otra parte, puede denominarse poliedro (en tres dimensiones), polícoro (en cuatro dimensiones) o politopo (en n dimensiones). 

          14) Circunferencia. Rectas y segmentos en:

La circunferencia es una línea curva cerrada y plana formada por un conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado centro “O”. 

                                                

 SEGMENTOS Y RECTAS DE LA CIRCUNFERENCIA

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y que necesariamente pasa por el centro.

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).

Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

En el plano, una recta puede intersectar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.

Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectas tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia; una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con el centro, por lo cual, la distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio.

                                           

Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del centro de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.

     15)Ángulos en una circunferencia: 

Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

 Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

                                          

    16)  Congruencia. El símbolo de congruencia.

Para la matemática, la congruencia es la expresión algebraica que expresa la igualdad de los restos de las divisiones de dos números congruentes por su módulo (un número natural distinto de 0).

                                  

   17)  Congruencia de triángulos:

                                 

                                 

Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:

       
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:

También tienen ángulos respectivamente congruentes: